1. Найдите объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, стороны оснований которой равны 10 см и 2 см, а апофема равна 5 см.

Решение:

Для нахождения объема усеченной пирамиды используется формула:

\( V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) \), где \( h \) — высота пирамиды, \( S_1 \) и \( S_2 \) — площади оснований.

В основании лежит квадрат. Площади оснований:

\( S_1 = 10^2 = 100 \) см²

\( S_2 = 2^2 = 4 \) см²

Для нахождения высоты \( h \) рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой \( l=5 \) см, высотой \( h \) и разностью радиусов вписанных окружностей оснований. Радиус вписанной окружности в квадрат со стороной \( a \) равен \( r = a/2 \).

\( r_1 = 10/2 = 5 \) см

\( r_2 = 2/2 = 1 \) см

По теореме Пифагора:

\( h^2 = l^2 - (r_1 - r_2)^2 = 5^2 - (5 - 1)^2 = 25 - 4^2 = 25 - 16 = 9 \)

\( h = \sqrt{9} = 3 \) см

Теперь подставим значения в формулу объема:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (100 + 4 + \sqrt{100 \cdot 4}) = 1 \cdot (104 + \sqrt{400}) = 104 + 20 = 124 \) см³

Ответ: 124 см³.