1. Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а угол между ними 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Решение:

Для решения этой задачи будем использовать теорему косинусов и формулу площади треугольника.

1. Находим третью сторону (по теореме косинусов):

   Теорема косинусов гласит: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \times \textrm{cos}(\gamma) \), где \(a\) и \(b\) — две стороны треугольника, \(\gamma\) — угол между ними, а \(c\) — третья сторона.

   В нашем случае: \( a = 6 \textrm{ см} \), \( b = 8 \textrm{ см} \), \( \gamma = 60^\circ \).

   Подставляем значения в формулу:

   \( c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \times 6 \times 8 \times \textrm{cos}(60^\circ) \)

   Мы знаем, что \( \textrm{cos}(60^\circ) = 0.5 \).

   \( c^2 = 36 + 64 - 2 \times 6 \times 8 \times 0.5 \)

   \( c^2 = 100 - 48 \)

   \( c^2 = 52 \)

   \( c = \textrm{sqrt}(52) = \textrm{sqrt}(4 \times 13) = 2\textrm{sqrt}(13) \textrm{ см} \).

2. Находим площадь треугольника:

   Площадь треугольника можно найти по формуле: \( S = \frac{1}{2}ab \times \textrm{sin}(\gamma) \).

   В нашем случае: \( a = 6 \textrm{ см} \), \( b = 8 \textrm{ см} \), \( \gamma = 60^\circ \).

   Мы знаем, что \( \textrm{sin}(60^\circ) = \frac{\textrm{sqrt}(3)}{2} \).

   Подставляем значения в формулу:

   \( S = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \times \frac{\textrm{sqrt}(3)}{2} \)

   \( S = \frac{1}{2} \times 48 \times \frac{\textrm{sqrt}(3)}{2} \)

   \( S = 24 \times \frac{\textrm{sqrt}(3)}{2} \)

   \( S = 12\textrm{sqrt}(3) \textrm{ см}^2 \).

Ответ: Третья сторона равна 2∑13 см, а площадь треугольника равна 12∑3 см².