1. Докажите, что катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30° (свойство прямоугольного треугольника).

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABC \), где \( \angle C = 90^{\circ} \). Пусть катет \( AC \) равен половине гипотенузы \( AB \), то есть \( AC = \frac{1}{2} AB \).

По определению синуса угла в прямоугольном треугольнике:

\[ \sin(\angle B) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} \]

По условию \( AC = \frac{1}{2} AB \). Подставим это в формулу:

\[ \sin(\angle B) = \frac{\frac{1}{2} AB}{AB} = \frac{1}{2} \]

Известно, что синус угла 30° равен \( \frac{1}{2} \). Следовательно:

\[ \sin(\angle B) = \sin(30^{\circ}) \]

Отсюда следует, что \( \angle B = 30^{\circ} \).

Таким образом, доказано, что если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Ответ: Доказано.