№5. В треугольнике MNF известно, что ∠N=90°, ∠M =30°, отрезок FD- биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD=20 см.

Ответ: MN = 20 \( \sqrt{3} \) см

Разбираемся:

• В прямоугольном треугольнике, катет лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
• Биссектриса делит угол пополам.

Решение:

Так как угол N = 90, угол M = 30, то угол F = 180 - 90 - 30 = 60. FD - биссектриса, значит, угол MFD = угол NFD = 30.

Рассмотрим треугольник FDM. В нём угол M = угол MFD = 30, значит, треугольник равнобедренный, и MD = FD = 20.

Так как угол N = 90, то треугольник MDN - прямоугольный. Угол NFD = 30, значит, MD = 1/2 * MF. Тогда MF = 2 * MD = 40.

По теореме Пифагора: MN = \( \sqrt{MF^2 - NF^2} \) = \( \sqrt{40^2 - 20^2} \) = \( \sqrt{1600 - 400} \) = \( \sqrt{1200} \) = 20\( \sqrt{3} \)

Ответ: MN = 20 \( \sqrt{3} \) см