№5. В треугольнике DEF известно, что ∠D = 90°, ∠F = 30°. Биссектриса угла Е пересекает DF в точке Р. Найдите FP, если EP + PD = 33 см.

Ответ: 11 см

Разбираемся:

Шаг 1: Найдем угол \(E\). Сумма углов в треугольнике равна 180°:

\[\angle E = 180^\circ - \angle D - \angle F = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\]

Шаг 2: Так как \(EP\) - биссектриса, то \[\angle DEP = \frac{1}{2} \angle E = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\]

Шаг 3: Рассмотрим треугольник \(DEP\). В нем \(\angle D = 90^\circ\) и \(\angle DEP = 30^\circ\). Значит, \(DP\) лежит против угла в 30°, и следовательно, гипотенуза \(EP\) в два раза больше, чем \(DP\).

\[EP = 2DP\]

Шаг 4: По условию \(EP + PD = 33\) см, подставим \(EP = 2DP\):

\[2DP + DP = 33\]\[3DP = 33\]\[DP = 11 \text{ см}\]

Шаг 5: Найдем \(FP\). Рассмотрим треугольник \(EFP\). \(\angle F = 30^\circ\), \(\angle FEP = \frac{1}{2} \angle E = 30^\circ\), значит, \(\angle F = \angle FEP\), то есть треугольник \(EFP\) равнобедренный, и \(FP = EP\).

Шаг 6: Найдем \(EP\). Так как \(EP = 2DP\), то

\[EP = 2 \cdot 11 = 22 \text{ см}\]

Следовательно, \(FP = 22\) см.

Ответ: 11 см