№5 В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого?

Решение:

Краткая запись:

h₁ = 27 см

a₂ = 3a₁

h₂ - ?

Объем воды в первом сосуде:

$$V_1 = S_1 \cdot h_1 = (\frac{a_1^2 \sqrt{3}}{4}) \cdot h_1$$

Объем воды во втором сосуде:

$$V_2 = S_2 \cdot h_2 = (\frac{a_2^2 \sqrt{3}}{4}) \cdot h_2$$

Объемы воды в обоих сосудах одинаковы:

$$V_1 = V_2$$ $$(\frac{a_1^2 \sqrt{3}}{4}) \cdot h_1 = (\frac{a_2^2 \sqrt{3}}{4}) \cdot h_2$$ $$(\frac{a_1^2 \sqrt{3}}{4}) \cdot h_1 = (\frac{(3a_1)^2 \sqrt{3}}{4}) \cdot h_2$$ $$(\frac{a_1^2 \sqrt{3}}{4}) \cdot h_1 = (\frac{9a_1^2 \sqrt{3}}{4}) \cdot h_2$$

Выразим h₂:

$$h_2 = \frac{(\frac{a_1^2 \sqrt{3}}{4}) \cdot h_1}{\frac{9a_1^2 \sqrt{3}}{4}} = \frac{a_1^2 \sqrt{3} \cdot h_1}{9a_1^2 \sqrt{3}} = \frac{h_1}{9} = \frac{27}{9} = 3 \text{ см}$$

Ответ: 3 см