№9. В окружность радиуса R = 12 вписан правильный п-угольник. Определите его сторону , периметр и площадь , если: а) n = 3; 6) n = 6.

Ответ: a) сторона ≈ 20.78, периметр ≈ 62.35, площадь ≈ 129.6; б) сторона = 12, периметр = 72, площадь ≈ 374.1

а) n = 3

• Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса R = 12:

\[ a_3 = 2R \cdot sin(\frac{180^\circ}{3}) = 2 \cdot 12 \cdot sin(60^\circ) = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \approx 20.78\]

• Периметр правильного треугольника:

\[ P_3 = 3 \cdot a_3 = 3 \cdot 12\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \approx 62.35\]

• Площадь правильного треугольника:

\[ S_3 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot a_3^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot (12\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot 144 \cdot 3 = 324 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = 81\sqrt{3} \approx 139.6 \]

б) n = 6

• Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R = 12:

\[ a_6 = 2R \cdot sin(\frac{180^\circ}{6}) = 2 \cdot 12 \cdot sin(30^\circ) = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12 \]

• Периметр правильного шестиугольника:

\[ P_6 = 6 \cdot a_6 = 6 \cdot 12 = 72 \]

• Площадь правильного шестиугольника:

\[ S_6 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a_6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 12^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 144 = 216\sqrt{3} \approx 374.1 \]

Ответ: a) сторона ≈ 20.78, периметр ≈ 62.35, площадь ≈ 129.6; б) сторона = 12, периметр = 72, площадь ≈ 374.1