№11. Для правильного п-угольника со стороной а = 6 см найдите радиус описанной около него окружности и радиус вписанной в него окружности, если: а) п = 4; 6)n = 6.

Ответ: a) R ≈ 4.24, r = 3; б) R = 6, r ≈ 5.2

а) n = 4

• Для правильного четырехугольника (квадрата) со стороной a = 6:

\[R = \frac{a}{2sin(\frac{180}{n})} = \frac{6}{2sin(\frac{180}{4})} = \frac{6}{2sin(45)} = \frac{6}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \approx 4.24\] \[r = \frac{a}{2tan(\frac{180}{n})} = \frac{6}{2tan(\frac{180}{4})} = \frac{6}{2tan(45)} = \frac{6}{2 \cdot 1} = 3\]

б) n = 6

• Для правильного шестиугольника со стороной a = 6:

\[R = \frac{a}{2sin(\frac{180}{n})} = \frac{6}{2sin(\frac{180}{6})} = \frac{6}{2sin(30)} = \frac{6}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 6\] \[r = \frac{a}{2tan(\frac{180}{n})} = \frac{6}{2tan(\frac{180}{6})} = \frac{6}{2tan(30)} = \frac{6}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \approx 5.2\]

Ответ: a) R ≈ 4.24, r = 3; б) R = 6, r ≈ 5.2