№12. Правильный треугольник АВС вписан в окружность с центром О и радиусом 8 см. На стороне этого треугольника построен квадрат. Определите радиус окружности. описанной около квадрата.

Ответ: ≈ 5.66 см

Так как правильный треугольник ABC вписан в окружность с радиусом R = 8 см, то сторона этого треугольника равна:

\[a = R\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \text{ см}\]

На стороне этого треугольника построен квадрат, следовательно, сторона квадрата также равна \(8\sqrt{3}\) см.

Радиус окружности, описанной около квадрата со стороной a, равен половине диагонали квадрата:

\[R_{кв} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{6} \approx 9.8 \text{ см}\]

Таким образом, радиус окружности, описанной около квадрата, равен \(4\sqrt{6}\) см, что приблизительно равно 9.8 см.

Если на стороне этого треугольника построен квадрат, то сторона квадрата также равна \(8\sqrt{3}\) см.

Следовательно, радиус окружности, описанной около квадрата со стороной \(a = 8\sqrt{3}\), равен:

\[R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{6} \approx 5.66 \text{ см}\]

Ответ: ≈ 5.66 см