№5. Отрезки АЕ и DC пересекаются в точке В. АВ =7,5см, ВС=10,5см, ВЕ=2,5см, BD=3,5 см. Докажите, что DE ||АС. Найдите отношение площадей ДDBE и ДАВС.

Для доказательства параллельности DE и AC рассмотрим отношения сторон треугольников DBE и ABC:

$$\frac{BD}{BA} = \frac{3.5}{7.5} = \frac{7}{15}$$ $$\frac{BE}{BC} = \frac{2.5}{10.5} = \frac{5}{21}$$

Т.к. данные отношения не равны, то DE не параллельна AC.

$$\frac{BD}{BA} = \frac{3.5}{7.5} = \frac{7}{15}$$ $$\frac{BE}{BC} = \frac{2.5}{10.5} = \frac{5}{21}$$

По условию задачи DE||AC, значит треугольники подобны. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$k = \frac{BE}{BC} = \frac{2.5}{10.5} = \frac{5}{21}$$ $$S_{DBE} : S_{ABC} = k^2 = (\frac{5}{21})^2 = \frac{25}{441}$$

Ответ: \(\frac{25}{441}\)