№6. (Доп.) В треугольнике ABC ∠A=23°, ∠C=90°, АС=2, АВ=4. В треугольнике КМО ∠ O=67°, ∠M=90°, КМ=6. Найдите площадь треугольника КМО.

Рассмотрим треугольник ABC. \(∠A=23°\), \(∠C=90°\), \(AC=2\), \(AB=4\).

Найдем угол B:

$$∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 23° - 90° = 67°$$

Рассмотрим треугольник КМО. \(∠O=67°\), \(∠M=90°\), \(KM=6\). Т.к. \(∠A=∠O=23°\), \(∠B=∠O=67°\), то треугольники АВС и КМО подобны. Найдем коэффициент подобия:

$$\frac{AC}{KM} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ Т.к. \(\frac{AC}{KM} = \frac{1}{3}\), то \(\frac{AB}{KO} = \frac{1}{3}\), \(\frac{BC}{MO} = \frac{1}{3}\).

Найдем BC по теореме Пифагора:

$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$ $$\frac{BC}{MO} = \frac{1}{3}$$ $$MO = 3BC = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$$

Площадь треугольника KMO:

$$S_{KMO} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot MO = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$$

Ответ: \(18\sqrt{3}\)