Решение задачи №6

Дано: ромб ABCD, точка O - пересечение диагоналей, прямая EF проходит через O, E ∈ AD, F ∈ BC.

Доказать: AE = CF.

Доказательство:

1. В ромбе ABCD диагонали AC и BD являются биссектрисами углов, и точка O является серединой каждой из них. Также, AD || BC, так как ABCD - ромб.

2. Рассмотрим треугольники AOE и COF. У них:

• AO = OC (O - середина AC)
• ∠EAO = ∠FCO (накрест лежащие углы при AD || BC и секущей AC)
• ∠AOE = ∠COF (вертикальные углы)

3. Следовательно, ΔAOE = ΔCOF по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

4. Из равенства треугольников следует, что AE = CF (как соответствующие стороны равных треугольников).

Что и требовалось доказать.