Решение

Для начала упростим выражение:

$$\frac{b^2-1}{3b^2-4b+1} - \frac{3b-1}{b} + \frac{1}{b}$$

Разложим числитель первой дроби как разность квадратов:

$$b^2 - 1 = (b-1)(b+1)$$

Разложим знаменатель первой дроби на множители. Для этого решим квадратное уравнение:

$$3b^2 - 4b + 1 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$$

Корни:

$$b_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4+2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ $$b_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4-2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Тогда знаменатель можно представить как:

$$3b^2 - 4b + 1 = 3(b-1)(b-\frac{1}{3}) = (b-1)(3b-1)$$

Исходное выражение примет вид:

$$\frac{(b-1)(b+1)}{(b-1)(3b-1)} - \frac{3b-1}{b} + \frac{1}{b} = \frac{b+1}{3b-1} - \frac{3b-1}{b} + \frac{1}{b}$$

Приведем дроби ко общему знаменателю:

$$\frac{b(b+1) - (3b-1)^2 + (3b-1)}{b(3b-1)} = \frac{b^2+b - (9b^2 - 6b + 1) + 3b - 1}{b(3b-1)} = \frac{b^2+b - 9b^2 + 6b - 1 + 3b - 1}{b(3b-1)} = \frac{-8b^2 + 10b - 2}{b(3b-1)}$$

Вынесем -2 за скобки в числителе:

$$\frac{-2(4b^2 - 5b + 1)}{b(3b-1)}$$

Разложим числитель на множители. Решим квадратное уравнение:

$$4b^2 - 5b + 1 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$$

Корни:

$$b_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5+3}{8} = \frac{8}{8} = 1$$ $$b_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5-3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

Тогда числитель можно представить как:

$$4b^2 - 5b + 1 = 4(b-1)(b-\frac{1}{4}) = (b-1)(4b-1)$$

Выражение примет вид:

$$\frac{-2(b-1)(4b-1)}{b(3b-1)}$$

Теперь подставим $$b = -1\frac{1}{5} = -\frac{6}{5}$$ в упрощенное выражение:

$$\frac{-2(-\frac{6}{5}-1)(4(-\frac{6}{5})-1)}{(-\frac{6}{5})(3(-\frac{6}{5})-1)} = \frac{-2(-\frac{11}{5})(-\frac{24}{5}-1)}{(-\frac{6}{5})(-\frac{18}{5}-1)} = \frac{-2(-\frac{11}{5})(-\frac{29}{5})}{(-\frac{6}{5})(-\frac{23}{5})} = \frac{-2 \cdot \frac{11}{5} \cdot \frac{29}{5}}{\frac{6}{5} \cdot \frac{23}{5}} = \frac{-2 \cdot 11 \cdot 29}{6 \cdot 23} = \frac{-638}{138} = -\frac{319}{69} = -4\frac{43}{69}$$

Ответ: $$-4\frac{43}{69}$$