6) √x + √13 - x = 5;

6) $$\sqrt{x} + \sqrt{13 - x} = 5$$

ОДЗ: $$x \ge 0$$, $$13 - x \ge 0$$, $$x \le 13$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$(\sqrt{x} + \sqrt{13 - x})^2 = 5^2$$

$$x + 2\sqrt{x(13 - x)} + 13 - x = 25$$

$$2\sqrt{13x - x^2} = 12$$

$$\sqrt{13x - x^2} = 6$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$13x - x^2 = 36$$

$$x^2 - 13x + 36 = 0$$

$$D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$$

$$x_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

$$x_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Проверка:

$$x_1 = 9$$

$$\sqrt{9} + \sqrt{13 - 9} = 5$$

$$3 + \sqrt{4} = 5$$

$$3 + 2 = 5$$

$$5 = 5$$

$$x_2 = 4$$

$$\sqrt{4} + \sqrt{13 - 4} = 5$$

$$2 + \sqrt{9} = 5$$

$$2 + 3 = 5$$

$$5 = 5$$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 9; 4