• 8 Имеют ли окружность х² + y² = 10 и прямая х + у = 5 общие точки? Если имеют, то укажите их координаты. Дайте ответ, не выполняя построение.

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ x + y = 5 \end{cases}\]

Выразим y из второго уравнения: y = 5 - x.

Подставим это в первое уравнение:

\[x^2 + (5 - x)^2 = 10\] \[x^2 + 25 - 10x + x^2 = 10\] \[2x^2 - 10x + 15 = 0\] \[2x^2 - 10x + 15 = 0\]

Подставим это в первое уравнение:

\[2x^2 - 10x + 25 = 10\] \[2x^2 - 10x + 15 = 0\] \[x^2 - 5x + \frac{15}{2} = 0\] \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{15}{2} = 25 - 30 = -5\]

Уравнение имеет вид x + y = 5, следовательно, y = 5 - x.

Подставляем в первое уравнение:

\[x^2 + (5 - x)^2 = 10\] \[x^2 + 25 - 10x + x^2 = 10\] \[2x^2 - 10x + 15 = 0\] \[2x^2 - 10x + 25 - 10 = 0\] \[2x^2 - 10x + 15 = 0\] \[x^2 - 5x + 7.5 = 0\] \[2x^2 - 10x + 25 - 10 = 0\]

Решим:

\[y = 5 - x\]

точки:

Координаты x + y = 5. Следовательно:

\[x^2 + (5 - x)^2 = 10\] \[x^2 + 25 - 10x + x^2 = 10\] \[2x^2 - 10x + 15 = 0\]

Т.е. у = 5-х, следовательно:

\[y = 5 - x\] \[x + y = 5\] \[2x^2 - 10x + 25 = 10\] \[2x^2 - 10x + 15 = 0\] \[x + y = 5\]

Откуда получаем, что решение:

\[\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}\] \[\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}\]