Решение задачи №9

Дано:

Основание пирамиды - равнобедренный треугольник со сторонами \( 6 \) см, \( 6 \) см и \( 8 \) см.
Боковое ребро \( l = 9 \) см.

Найти: Объем пирамиды \( V \).

Решение:

Находим площадь основания: Для начала найдем высоту равнобедренного треугольника, проведенную к основанию \( 8 \) см. Она разделит основание пополам, то есть на отрезки по \( 4 \) см. Используем теорему Пифагора: \( h_{осн} = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \) см.
Площадь основания: \( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 2\sqrt{5} \text{ см} = 8\sqrt{5} \) см².
Находим высоту пирамиды: В основании равнобедренного треугольника высота, опущенная на основание, делит его пополам. Центр описанной окружности (а значит, и проекция вершины пирамиды на основание) равноудален от всех вершин треугольника. Найдем радиус описанной окружности \( R \) по формуле: \( R = \frac{abc}{4S_{осн}} \), где \( a, b, c \) - стороны треугольника.
\( R = \frac{6 \cdot 6 \cdot 8}{4 \cdot 8\sqrt{5}} = \frac{288}{32\sqrt{5}} = \frac{9}{\sqrt{5}} = \frac{9\sqrt{5}}{5} \) см.
Теперь найдем высоту пирамиды \( h \), используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром \( l \), радиусом описанной окружности \( R \) и высотой пирамиды \( h \): \( h = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{9^2 - (\frac{9\sqrt{5}}{5})^2} = \sqrt{81 - \frac{81 \cdot 5}{25}} = \sqrt{81 - \frac{81}{5}} = \sqrt{81 \cdot (1 - \frac{1}{5})} = \sqrt{81 \cdot \frac{4}{5}} = 9 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{18}{\sqrt{5}} = \frac{18\sqrt{5}}{5} \) см.
Находим объем пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 8\sqrt{5} \text{ см}^2 \cdot \frac{18\sqrt{5}}{5} \text{ см} = \frac{8\sqrt{5} \cdot 18\sqrt{5}}{3 \cdot 5} = \frac{8 \cdot 18 \cdot 5}{15} = \frac{720}{15} = 48 \) см³.

Ответ: Объем пирамиды составляет 48 см³.

Поделись с друзьями