Решение:

Обозначим трапецию как ABCD, где \( \text{BC} \) и \( \text{AD} \) — основания, \( \text{AB} \) и \( \text{CD} \) — боковые стороны. Пусть \( \text{AB} \) — высота, тогда \( \text{AB} = 36 \) см. Одно из оснований равно 36 см. Другая боковая сторона \( \text{CD} = 39 \) см.

В прямоугольной трапеции прямой угол находится при основании, к которому примыкает высота. Пусть \( \text{AB} \) — высота, значит, \( \text{AB} \bot \text{AD} \) и \( \text{AB} \bot \text{BC} \). Тогда \( \text{AD} \) и \( \text{BC} \) — основания.

Предположим, \( \text{AB} = 36 \) (высота). Тогда одно из оснований равно 36.

Условие задачи содержит противоречие или неточность. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон является высотой. Если "боковые стороны равны 36см и 39см", это означает, что одна из них — высота, а другая — наклонная боковая сторона.

Пусть \( \text{AB} \) — высота, \( \text{AB} = 36 \). Тогда \( \text{CD} = 39 \) — наклонная боковая сторона. Одно из оснований равно 36 (это высота). Другое основание — \( \text{AD} \) или \( \text{BC} \).

Если \( \text{AB} \) — высота, то \( \text{AD} \) и \( \text{BC} \) — основания. Прямой угол при \( \text{A} \) и \( \text{B} \). Тогда \( \text{AB} = 36 \). \( \text{CD} = 39 \).

Если \( \text{AD} \) — большее основание, то \( \text{AD} = ? \), \( \text{BC} = ? \).

Проведем высоту \( \text{DE} \) из \( \text{D} \) на \( \text{AD} \). В прямоугольном треугольнике \( \text{CDE} \) (если \( \text{CD} \) — наклонная боковая сторона), \( \text{CE} = \text{AB} = 36 \). \( DE = \text{BC} \). \( CD = 39 \).

По теореме Пифагора в \( \triangle \text{CDE} \): \( DE^2 + CE^2 = CD^2 \). \( DE^2 + 36^2 = 39^2 \). \( DE^2 + 1296 = 1521 \). \( DE^2 = 1521 - 1296 = 225 \). \( DE = 15 \).

Таким образом, \( \text{BC} = 15 \) см.

Теперь рассмотрим диагональ. Большая диагональ — \( \text{AC} \). Она является биссектрисой прямого угла \( \text{BAD} \). Угол \( \text{BAD} = 90° \). Если \( \text{AC} \) — биссектриса, то \( \text{Угол BAC} = \text{Угол CAD} = 45° \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \text{ABC} \). \( \text{AB} = 36 \). \( \text{BC} = 15 \). \( \text{Угол BAC} = 45° \). Но в прямоугольном треугольнике \( \text{ABC} \) \( \text{tg(BAC)} = \frac{BC}{AB} = \frac{15}{36} \), что не равно 1. Следовательно, \( \text{AC} \) не является биссектрисой прямого угла \( \text{BAD} \).

Возможно, прямой угол — \( \text{ABC} \). Тогда \( \text{AB} = 36 \) — катет. \( \text{BC} = 15 \) — катет. \( \text{CD} = 39 \) — наклонная боковая сторона. \( \text{AD} \) — основание.

Если \( \text{AC} \) — биссектриса прямого угла \( \text{ABC} \), то \( \text{Угол ABC} = 90° \). \( \text{AC} \) не может быть биссектрисой угла \( \text{ABC} \), так как \( \text{AC} \) — диагональ.

Предположим, что в условии имеется в виду, что одна из боковых сторон (например, \( \text{AB} \)) является высотой и равна 36. Наклонная боковая сторона \( \text{CD} = 39 \). Тогда мы нашли, что меньшее основание \( \text{BC} = 15 \).

Теперь условие о биссектрисе: "большая диагональ является биссектрисой прямого угла". Прямой угол в трапеции — это угол между основанием и высотой. Пусть \( \text{AB} \) — высота, тогда углы \( \text{BAD} \) и \( \text{ABC} \) — прямые (90°).

Диагональ \( \text{AC} \) соединяет \( \text{A} \) и \( \text{C} \). Если \( \text{AC} \) — биссектриса угла \( \text{BAD} = 90° \), то \( \text{Угол BAC} = 45° \). В прямоугольном \( \triangle \text{ABC} \): \( \text{tg(BAC)} = \frac{BC}{AB} \). \( \text{tg(45°)} = 1 \). Значит, \( BC = AB \). Но \( AB=36 \) и \( BC=15 \), что противоречит.

Рассмотрим диагональ \( \text{BD} \). Если \( \text{BD} \) — биссектриса угла \( \text{ABC} = 90° \), то \( \text{Угол ABD} = 45° \). В прямоугольном \( \triangle \text{ABD} \): \( \text{tg(ABD)} = \frac{AD}{AB} \). \( \text{tg(45°)} = 1 \). Значит, \( AD = AB \).

Если \( AD = AB = 36 \), то \( \text{BC} = 15 \) (нашли ранее). Основания \( AD = 36 \) и \( BC = 15 \). Высота \( AB = 36 \). Наклонная боковая сторона \( CD = 39 \).

Периметр трапеции = \( AB + BC + CD + AD \)

Периметр = \( 36 + 15 + 39 + 36 = 126 \) см.

Проверим, какая диагональ больше: \( AC \) или \( BD \).

\( AC^2 = AB^2 + BC^2 = 36^2 + 15^2 = 1296 + 225 = 1521 \). \( AC = \text{sqrt}(1521) = 39 \).

\( BD^2 = AB^2 + AD^2 = 36^2 + 36^2 = 2 \times 36^2 \). \( BD = 36\text{√2} \approx 36 \times 1.414 = 50.9 \).

Диагональ \( BD \) больше. Значит, \( \text{BD} \) — большая диагональ, и она является биссектрисой прямого угла \( \text{ABC} \).

\( \text{Угол ABD} = 45° \). В \( \triangle \text{ABD} \): \( AD = AB \times \text{tg(45°)} = 36 \times 1 = 36 \).

Итак, основания \( \text{AD} = 36 \) и \( \text{BC} = 15 \). Высота \( \text{AB} = 36 \). Боковая сторона \( \text{CD} = 39 \).

Периметр = \( 36 + 15 + 39 + 36 = 126 \) см.

Ответ: 126 см.

Поделись с друзьями