Как найти НОК двух и трёх чисел
Два школьных автобуса отправляются от остановки с разными интервалами: один — каждые 6 минут, другой — каждые 8 минут. Если они уехали вместе, то снова встретятся через 24 минуты. Число 24 делится и на 6, и на 8, причём меньшего подходящего положительного числа нет. Это и есть наименьшее общее кратное.
Если для двух расписаний находится несколько общих моментов и непонятно, какой из них первый, после собственного решения откройте раздел гдз по алгебре 7 класс Макарычев. Сравните список кратных или разложение: разбор поможет проверить именно минимальность ответа.
Что означает НОК
Аббревиатура НОК расшифровывается как «наименьшее общее кратное». Кратным называют результат умножения исходного числа на натуральное число: 6, 12, 18 и 24 кратны шестёрке. Общим называют кратное, которое подходит сразу всем участникам задачи.
Например, 12 делится на 4 и на 6. Число 24 тоже делится на них, но первым положительным совпадением будет 12. Поэтому НОК(4; 6) = 12.
Как найти НОК двух чисел с помощью списка кратных
Этот способ удобен для небольших величин. Нужно выписать несколько кратных каждого участника и найти первое совпадение.
Действуйте по порядку:
- Запишите кратные первого числа по возрастанию.
- Составьте такой же ряд для второго.
- Отметьте значения, которые встретились в обоих рядах.
- Выберите самое маленькое общее значение.
- Проверьте, что оно делится на оба исходных числа без остатка.
Возьмём 6 и 8. Для шестёрки получаем 6, 12, 18, 24, 30… Для восьмёрки — 8, 16, 24, 32… Первое совпадение равно 24 — это и есть ответ.
У метода есть ограничение: при крупных исходных данных перечень быстро становится длинным. Тогда удобнее перейти к разложению на простые множители.
Разложение на простые множители
Простые числа делятся только на единицу и самих себя. Любое составное натуральное число можно представить как их произведение. Например, 12 = 2² · 3, а 18 = 2 · 3².
Чтобы получить общее кратное, собирают все простые множители, встретившиеся хотя бы в одном разложении. Если один и тот же множитель имеет разные степени, берут наибольшую. Для 12 и 18 нужны 2² и 3². Перемножаем: 2² · 3² = 4 · 9 = 36. Проверка: 36 : 12 = 3 и 36 : 18 = 2.
Правило максимальной степени важно. Если взять только 2 · 3, получится 6, которое не делится ни на 12, ни на 18. Если же без необходимости перемножить 12 · 18, выйдет 216 — общее кратное, но не наименьшее.
Как найти НОК трёх чисел
Алгоритм не меняется: раскладываем каждого участника, затем выбираем простые множители в наибольших степенях. Разберём, как найти НОК у трёх чисел 12, 18 и 20:
- 12 = 2² · 3;
- 18 = 2 · 3²;
- 20 = 2² · 5;
- для результата нужны 2², 3² и 5;
- НОК(12; 18; 20) = 2² · 3² · 5 = 180.
Число 180 делится на 12, 18 и 20. Уменьшить его, не потеряв хотя бы один нужный множитель, нельзя.
Есть и последовательный способ. Сначала вычислите НОК(12; 18) = 36, затем найдите НОК(36; 20) = 180. Так вопрос «НОК 3 чисел — как найти его без громоздкой записи?» сводится к двум знакомым действиям с парами.
Как найти НОК 3 чисел: пример для 5 класса
Пусть даны 4, 6 и 10. Разложения выглядят так: 4 = 2², 6 = 2 · 3, 10 = 2 · 5. Собираем 2², 3 и 5, после чего перемножаем: 4 · 3 · 5 = 60. Следовательно, искомое значение равно 60.
В 5 классе полезно сделать обратную проверку: 60 : 4 = 15, 60 : 6 = 10, 60 : 10 = 6. Все частные натуральные, значит, деление выполняется без остатка. Затем убедитесь, что степень двойки не завышена: 2² нужна из разложения четвёрки, а дополнительная двойка не требуется.
Случаи, которые сокращают вычисления
Иногда ответ заметен ещё до разложения:
- если одно число делится на другое, ответ равен большему: для 5 и 20 получаем 20;
- если у участников нет общих простых делителей, достаточно их перемножить: для 7 и 9 получаем 63;
- единица не добавляет множителей: НОК(1; 6; 15) = НОК(6; 15) = 30;
- повтор одного значения ничего не меняет: НОК(8; 8; 12) = НОК(8; 12) = 24.
Эти наблюдения экономят время, но проверка делением всё равно остаётся полезной.
Частые ошибки
Не путайте НОК с наибольшим общим делителем. Искомое кратное обычно не меньше каждого исходного положительного числа, а общий делитель не может быть больше меньшего участника пары. Ещё одна ошибка — брать минимальные степени простых множителей: так ищут НОД, а здесь нужны максимальные.
Нельзя останавливаться на любом общем кратном. Для 6 и 8 подходят 24, 48 и 72, однако ответом будет 24. Слово «наименьшее» в названии показателя задаёт главное условие.
Как проверить ответ
Разделите найденное значение на каждое исходное число. Остаток во всех случаях должен быть нулевым. После этого по очереди убирайте простые множители: если при каждом таком сокращении результат перестаёт делиться хотя бы на одного участника, минимальность подтверждена.
Итак, для коротких примеров подходит список кратных, а для крупных величин и трёх чисел удобнее разложение. Оба способа приводят к одному результату, если внимательно сохранить все простые множители в нужных степенях.
