Сколько существует чисел: считаем разряды и разбираемся с бесконечностью

На вопрос «сколько всего чисел?» нельзя ответить одной последней цифрой: числовые ряды продолжаются без конца. Какое бы большое натуральное число мы ни назвали, к нему можно прибавить единицу и получить следующее. Однако числа с заданным количеством знаков можно пересчитать точно. Например, однозначных натуральных чисел девять, трёхзначных — 900, а четырёхзначных — 9000.

Сколько всего натуральных чисел

Натуральные числа используют при счёте предметов: 1, 2, 3, 4 и так далее. В некоторых учебниках к ним относят и ноль, поэтому перед решением полезно посмотреть, какого соглашения придерживается автор. На главный вывод это не влияет: множество натуральных чисел бесконечно.

Предположим, кто-то заявил, что нашёл самое большое натуральное число N. Тогда N + 1 тоже будет натуральным и окажется больше. Получилось противоречие. Значит, последнего элемента нет, а вопрос о точном количестве здесь имеет ответ «бесконечно много».

Как считать числа заданной разрядности

У конечной группы есть первая и последняя запись. Двузначные натуральные числа начинаются с 10 и заканчиваются на 99. Чтобы узнать их количество, недостаточно выполнить 99 − 10: такое вычитание показывает расстояние между границами. Нужно прибавить единицу, потому что обе границы входят в подсчёт: 99 − 10 + 1 = 90.

Если правило понятно, но в составной задаче трудно выбрать границы или действие, сначала запишите собственное решение, а затем сравните его с разбором в геометрия 7 класс гдз. Такая проверка помогает увидеть, где потерялась крайняя запись или появилась лишняя единица.

Для любого отрезка целых чисел от a до b включительно работает формула b − a + 1. Применять её удобно по шагам:

1. Определите наименьшее число нужной разрядности.
2. Найдите самое большое число с тем же количеством цифр.
3. Вычтите нижнюю границу из верхней.
4. Прибавьте единицу, чтобы учесть обе границы.
5. Проверьте результат общей формулой 9 · 10ⁿ⁻¹, где n — количество цифр.

Почему появляется множитель 9? Первая цифра многозначного натурального числа не может быть нулём: для неё доступны варианты от 1 до 9. На каждом следующем месте может находиться любая из десяти цифр — от 0 до 9.

Сколько всего однозначных, трёхзначных и четырёхзначных чисел

Если натуральный ряд начинается с единицы, ответ на вопрос, сколько всего однозначных чисел, равен девяти: это числа от 1 до 9. Ноль является однозначным целым числом, но его включение в натуральный ряд зависит от принятого соглашения. Поэтому формулировку задания нужно читать внимательно.

Если считают все неотрицательные однозначные целые числа, к этой группе добавляют ноль и получают десять вариантов: от 0 до 9.

Теперь выясним, сколько всего трёхзначных чисел. Первое из них — 100, последнее — 999. Получаем 999 − 100 + 1 = 900. Тот же ответ даёт правило разрядов: для первой позиции есть 9 вариантов, для второй и третьей — по 10. Значит, 9 · 10 · 10 = 900.

Чтобы узнать, сколько всего четырёхзначных чисел, отметим границы от 1000 до 9999. Их количество равно 9999 − 1000 + 1 = 9000. По общей формуле получаем тот же результат: 9 · 10³ = 9000.

Полезно запомнить несколько значений:

• однозначных натуральных чисел — 9;
• двузначных — 90;
• трёхзначных — 900;
• четырёхзначных — 9000;
• n-значных — 9 · 10ⁿ⁻¹.

Каждый переход к следующему разряду увеличивает количество вариантов в десять раз. Пятизначных положительных целых чисел уже 90 000, потому что они занимают промежуток от 10 000 до 99 999.

Сколько всего простых чисел

Простым называют натуральное число больше единицы, у которого ровно два положительных делителя: единица и оно само. Первые простые числа — 2, 3, 5, 7, 11 и 13. Они встречаются всё реже, но никогда не заканчиваются.

Идею доказательства предложил ещё Евклид. Представим, что мы выписали все простые числа и перемножили их. Прибавим к произведению единицу. Новое число не делится без остатка ни на один элемент списка: при делении всегда останется 1. Значит, оно само простое либо имеет простой делитель, которого в списке не было. В обоих случаях список оказался неполным.

При подсчёте важно заранее уточнить, о какой группе идёт речь. Частые источники ошибок таковы:

• смешивают бесконечный ряд со строго ограниченным диапазоном;
• забывают уточнить, считается ли ноль натуральным;
• принимают 1 за простое число, хотя у единицы только один положительный делитель;
• вычитают границы и не прибавляют единицу;
• называют запись с нулём в начале многозначной, хотя 007 обозначает число 7.

Итак, всех натуральных и всех простых чисел бесконечно много. Зато количество записей заданной разрядности вычисляется точно. Нужно определить границы и воспользоваться формулой b − a + 1 либо правилом 9 · 10ⁿ⁻¹. Эти два способа дают одинаковый результат и позволяют проверить друг друга.