Запишите обоснованное решение задач 6 6. В прямоугольном треугольнике BCD из точки М гипотенузы ВС проведен перпендикуляр МН к стороне BD. Найдите длину отрезка МН, если BC=24, MC=9, CD=16.

Решение:

6. Длина отрезка МН

Дан прямоугольный треугольник \( △ BCD \) (\( ∠ BDC = 90^\circ \)).

По теореме Пифагора найдём длину катета BD:

\( BD^2 + CD^2 = BC^2 \)

\( BD^2 + 16^2 = 24^2 \)

\( BD^2 + 256 = 576 \)

\( BD^2 = 576 - 256 = 320 \)

\( BD = √{320} = √{64 · 5} = 8√{5} \) см.

Точка M лежит на гипотенузе BC. Дано MC = 9 см, BC = 24 см.

Следовательно, BM = BC - MC = 24 - 9 = 15 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( △ BCD \) и проведённый из точки M на гипотенузе перпендикуляр MH к катету BD.

Треугольники \( △ BHM \) и \( △ BCD \) подобны по двум углам (угол B общий, \( ∠ BHM = ∠ BDC = 90^\circ \)).

Из подобия следует пропорция:

\( \frac{MH}{CD} = \frac{BM}{BC} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{MH}{16} = \frac{15}{24} \)

Выразим MH:

\( MH = 16 · \frac{15}{24} \)

Упростим дробь \( \frac{15}{24} = \frac{5 · 3}{8 · 3} = \frac{5}{8} \).

\( MH = 16 · \frac{5}{8} = 2 · 5 = 10 \) см.

Ответ: 10 см