516. Замените знаки * одночленами так, чтобы выполнялось равенство: a) (* + 4d⁴)² = * + 24c²d⁵ + *;

Прежде всего вспомним формулу квадрата суммы: $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

Сравним это с нашим условием: $$( * + 4d^4 )^2 = * + 24c^2d^5 + *$$

Из формулы видим, что средний член (2ab) должен быть равен 24c²d⁵. Тогда:

$$2 cdot * cdot 4d^4 = 24c^2d^5$$

Разделим обе части уравнения на 8d⁴:

$$* = \frac{24c^2d^5}{8d^4} = 3c^2d$$

Итак, первый член равен 3c²d. Теперь можем найти первый (*) и последний члены в правой части исходного уравнения. Первый член: $$(3c^2d)^2 = 9c^4d^2$$

Последний член: $$(4d^4)^2 = 16d^8$$

Подставим найденные одночлены в исходное равенство:

Ответ: $$(3c^2d + 4d^4)^2 = 9c^4d^2 + 24c^2d^5 + 16d^8$$