Решение

Для того чтобы выражение $$k^2 + 5z + 16z^2$$ было квадратом двучлена, оно должно иметь вид $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.$$

В нашем случае уже есть $$a^2 = k^2$$ и $$b^2 = 16z^2$$. Значит, $$b = 4z$$.

Тогда средний член должен быть равен $$2ab = 2 cdot k cdot 4z = 8kz$$. Но у нас этот член равен $$5z$$. Это значит, что нужно, чтобы $$8k = 5$$, откуда $$k = \frac{5}{8}$$.

Значит, $$k^2 = \left(\frac{5}{8}\right)^2 = \frac{25}{64}$$.

Таким образом, чтобы выражение было полным квадратом, нужно заменить $$5z$$ на $$2 \cdot k \cdot 4z = 2 \cdot \frac{5}{8} \cdot 4z = 5z$$.

И наше выражение примет вид:

$$\left(\frac{5}{8}\right)^2 + 2 \cdot \frac{5}{8} \cdot 4z + (4z)^2 = \left(\frac{5}{8} + 4z\right)^2$$

Итак, искомый квадрат $$k$$ равен:

$$k^2 = \frac{25}{64}$$

Ответ: $$k^2 = \frac{25}{64}$$