Задайте с помощью характеристического свойства множество:

Решение:

a) \( A = \left\{ 0; 1; 4; 9; 16; 25 \right\} \)

Заметим, что все элементы множества A являются квадратами последовательных целых чисел, начиная с 0.

\( 0 = 0^2 \), \( 1 = 1^2 \), \( 4 = 2^2 \), \( 9 = 3^2 \), \( 16 = 4^2 \), \( 25 = 5^2 \)

Характеристическое свойство:

\( A = \left\{ x \mid x = n^2, n \in \mathbb{Z}, 0 \le n \le 5 \right\} \)

б) \( B = \left\{ 1; 5; 9; 13; 17; 21 \right\} \)

Заметим, что разность между соседними элементами равна 4.

\( 1 \)

\( 1 + 4 = 5 \)

\( 5 + 4 = 9 \)

\( 9 + 4 = 13 \)

\( 13 + 4 = 17 \)

\( 17 + 4 = 21 \)

Это арифметическая прогрессия с первым членом \( a_1 = 1 \) и разностью \( d = 4 \).

Формула n-го члена: \( a_n = a_1 + (n-1)d \)

\( a_n = 1 + (n-1)4 = 1 + 4n - 4 = 4n - 3 \)

Характеристическое свойство:

\( B = \left\{ x \mid x = 4n - 3, n \in \mathbb{N}, 1 \le n \le 6 \right\} \)

Ответ: а) \( A = \left\{ x \mid x = n^2, n \in \mathbb{Z}, 0 \le n \le 5 \right\} \); б) \( B = \left\{ x \mid x = 4n - 3, n \in \mathbb{N}, 1 \le n \le 6 \right\} \).