Задание 4*. Выведите формулу основного тригонометрического тождества. Из основного тригонометрического тождества выразите sina и cosa. * Задание повышенного уровня сложности (необязательно к выполнению). Рекомендуется выполнять по желанию ученика, а также если все предыдущие задания дались легко.

Решение:

1. Вывод основного тригонометрического тождества:

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\). Пусть \(\alpha\) - угол между катетом \(a\) и гипотенузой \(c\).

Тогда:

\[sin\alpha = \frac{b}{c}\]

\[cos\alpha = \frac{a}{c}\]

По теореме Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\).

Разделим обе части уравнения на \(c^2\):

\[\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = 1\]

\[(\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = 1\]

Подставим определения синуса и косинуса:

\[cos^2\alpha + sin^2\alpha = 1\]

Или:

\[sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1\]

2. Выражение синуса и косинуса из основного тригонометрического тождества:

Выразим \(sin\alpha\):

\[sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha\]

\[sin\alpha = \pm \sqrt{1 - cos^2\alpha}\]

Выразим \(cos\alpha\):

\[cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha\]

\[cos\alpha = \pm \sqrt{1 - sin^2\alpha}\]