Задание 3. В прямоугольном треугольника длина одного из катетов равна а, а величина угла, прилежащего к этому катету, равна в. а) Необходимо выразить второй катет, второй острый угол и гипотенузу через в и а. б) Найти их значения, если в = 40°, а = 15 см.

Ответ: а) Второй катет: \(a \cdot tg(\beta)\); Второй острый угол: \(90^\circ - \beta\); Гипотенуза: \(\frac{a}{cos(\beta)}\); б) Второй катет: 12.586 см; Второй острый угол: 50°; Гипотенуза: 19.578 см

Решение:

а) Пусть данный катет - \(AC = a\), угол, прилежащий к этому катету - \(\angle A = \beta\). Тогда:

• Второй катет (\(BC\)) можно выразить через тангенс угла \(\beta\): \[tg(\beta) = \frac{BC}{AC} = \frac{BC}{a}\] \[BC = a \cdot tg(\beta)\]
• Второй острый угол (\(\angle B\)) равен разности между 90° и углом \(\beta\): \[\angle B = 90^\circ - \beta\]
• Гипотенуза (\(AB\)) можно выразить через косинус угла \(\beta\): \[cos(\beta) = \frac{AC}{AB} = \frac{a}{AB}\] \[AB = \frac{a}{cos(\beta)}\]

б) Дано: \(\beta = 40^\circ, a = 15\) см.

• Второй катет: \(BC = 15 \cdot tg(40^\circ) \approx 15 \cdot 0.8391 \approx 12.586\) см.
• Второй острый угол: \(\angle B = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\).
• Гипотенуза: \(AB = \frac{15}{cos(40^\circ)} \approx \frac{15}{0.7660} \approx 19.578\) см.

Ответ: а) Второй катет: \(a \cdot tg(\beta)\); Второй острый угол: \(90^\circ - \beta\); Гипотенуза: \(\frac{a}{cos(\beta)}\); б) Второй катет: 12.586 см; Второй острый угол: 50°; Гипотенуза: 19.578 см