Задание 1. Найдите: a) cosa и tga, если sina = \(\frac{1}{5}\); 6) sinß и tgß, если cosß = \(\frac{3}{7}\)

Ответ: a) \(cos \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}\), \(tg \alpha = \frac{\sqrt{6}}{12}\); б) \(sin \beta = \frac{2\sqrt{10}}{7}\), \(tg \beta = \frac{2\sqrt{10}}{3}\)

Решение:

a) Дано: \(sin \alpha = \frac{1}{5}\). Найти: \(cos \alpha\) и \(tg \alpha\).

• Шаг 1: Находим \(cos \alpha\) используя основное тригонометрическое тождество: \[sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\] \[cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha\] \[cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}\] \[cos \alpha = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}\]
• Шаг 2: Находим \(tg \alpha\) используя определение тангенса: \[tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{2\sqrt{6}}{5}} = \frac{1}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{12}\]

б) Дано: \(cos \beta = \frac{3}{7}\). Найти: \(sin \beta\) и \(tg \beta\).

• Шаг 1: Находим \(sin \beta\) используя основное тригонометрическое тождество: \[sin^2 \beta + cos^2 \beta = 1\] \[sin^2 \beta = 1 - cos^2 \beta\] \[sin^2 \beta = 1 - \left(\frac{3}{7}\right)^2 = 1 - \frac{9}{49} = \frac{40}{49}\] \[sin \beta = \sqrt{\frac{40}{49}} = \frac{\sqrt{40}}{7} = \frac{2\sqrt{10}}{7}\]
• Шаг 2: Находим \(tg \beta\) используя определение тангенса: \[tg \beta = \frac{sin \beta}{cos \beta} = \frac{\frac{2\sqrt{10}}{7}}{\frac{3}{7}} = \frac{2\sqrt{10}}{3}\]

Ответ: a) \(cos \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}\), \(tg \alpha = \frac{\sqrt{6}}{12}\); б) \(sin \beta = \frac{2\sqrt{10}}{7}\), \(tg \beta = \frac{2\sqrt{10}}{3}\)