Задание 7 Шесть студентов-одногруппников договорились общими усилиями решить подготовительный вариант контрольной работы. Каждый студент написал решения к 2 задачам, причём оказалось, что у каждой пары студентов есть решения ровно к 3 различным задачам. Сколько задач было в подготовтительном варианте контрольной работы, если нерешённых задач не осталось?

Решение:

Пусть n – количество задач в подготовительном варианте контрольной работы.

Всего студентов 6. Каждый студент решил по 2 задачи. Тогда общее количество решенных задач (с учетом повторений) равно $$6 \cdot 2 = 12$$.

С другой стороны, рассматриваем каждую пару студентов. Количество пар студентов равно $$C_6^2 = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$$. Каждая пара решила 3 задачи. Таким образом, у нас есть 15 троек решенных задач.

Теперь установим связь между общим числом задач и числом троек, решенных каждой парой.

Пусть $$x_i$$ – количество пар студентов, решивших задачу номер i. Тогда общее количество троек можно записать как $$x_1 + x_2 + ... + x_n = 15$$.

Из условия следует, что все задачи решены хотя бы одной парой студентов. Поэтому $$x_i \ge 1$$ для всех i.

Также известно, что каждый студент решил ровно 2 задачи. Таким образом, каждая задача решена ровно двумя студентами, то есть $$x_i = 1$$ для любой задачи.

Тогда, если сложить все задачи, получим $$2n = 12$$, где n – общее число задач.

Теперь найдем общее количество троек, зная, что каждая задача решена ровно одной парой студентов. В этом случае число троек равно числу задач.

Тогда $$n = 15 - 12 = 3$$.

Это означает, что в подготовительном варианте контрольной работы было 3 задачи.

Общее количество решенных задач (с учетом повторений) составляет $$6 \cdot 2 = 12$$. Если каждая пара студентов решила 3 задачи, то общее число троек равно $$15$$.

Пусть n – число задач. Тогда, так как каждая задача решена двумя студентами, имеем $$2n = 12$$, то есть $$n = 6$$.

Ответ: В подготовительном варианте контрольной работы было 6 задач.