ЗАДАНИЕ №3 На координатной плоскости нарисовали параллелограмм ABCD. Координаты его вершин: А(0; 0), В(1; 2), C(4; 2), D(3; 0). Вне параллелограмма взяли точку М. Найдите AM2 + CM2 – BM2 – DM2 =

Обозначим координаты точки M как $$(x, y)$$. Тогда:

1. $$AM^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$$
2. $$CM^2 = (x - 4)^2 + (y - 2)^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2 - 4y + 4$$
3. $$BM^2 = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4$$
4. $$DM^2 = (x - 3)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2$$

Подставим в выражение:

$$AM^2 + CM^2 - BM^2 - DM^2 = (x^2 + y^2) + (x^2 - 8x + 16 + y^2 - 4y + 4) - (x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4) - (x^2 - 6x + 9 + y^2) = x^2 + y^2 + x^2 - 8x + 20 + y^2 - 4y - x^2 + 2x - 5 - y^2 + 4y - x^2 + 6x - 9 - y^2 = (x^2 + x^2 - x^2 - x^2) + (y^2 + y^2 - y^2 - y^2) + (-8x + 2x + 6x) + (-4y + 4y) + (20 - 5 - 9) = 0 + 0 + 0 + 0 + 6 = 6$$

Ответ:

$$AM^2 + CM^2 - BM^2 - DM^2 = \mathbf{6}$$