Задание 9: Найди тангенс меньшего угла.

Решение:

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.

1. Определим координаты вершин многоугольника. Пусть нижняя левая вершина будет (0,0). Тогда вершины будут: (0,0), (3,0), (2,2), (0,2).
2. Этот многоугольник является трапецией. Параллельные стороны лежат на прямых x=0 и x=3.
3. Проведем диагональ из (0,2) в (3,0).
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной (0,0)-(3,0), стороной (3,0)-(3,2) и диагональю (0,2)-(3,0).
5. Пусть \( \alpha \) — угол при вершине (3,0) с основанием. Тогда противолежащий катет равен 2, а прилежащий катет равен 3. \( \text{tg}(\alpha) = \frac{2}{3} \).
6. Рассмотрим угол при вершине (0,2) с основанием. Пусть \( \beta \) — этот угол. Противолежащий катет равен 2, прилежащий катет равен 3. \( \text{tg}(\beta) = \frac{2}{3} \).
7. Углы при основании трапеции равны \( \text{arctg}(\frac{2}{3}) \) и \( \pi - \text{arctg}(\frac{2}{3}) \).
8. Так как \( \frac{2}{3} < 1 \), то \( \text{arctg}(\frac{2}{3}) < 45° \).
9. Меньший угол равен \( \text{arctg}(\frac{2}{3}) \).
10. Тангенс этого угла равен \( \frac{2}{3} \).

Ответ: 2/3.