Задание 6. Найдите наибольшее значение функции ... 3) y=11+6x-4х√х на отрезке [0; 21];

Решение:

Найдем производную функции \( y = 11 + 6x - 4x\sqrt{x} \).

\( y' = 6 - 4 \left( 1 \cdot \sqrt{x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \right) = 6 - 4 \left( \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2} \right) = 6 - 4 \cdot \frac{3}{2}\sqrt{x} = 6 - 6\sqrt{x} \).

Приравняем производную к нулю:

\[ 6 - 6\sqrt{x} = 0 \]

\[ 6\sqrt{x} = 6 \]

\[ \sqrt{x} = 1 \]

\[ x = 1 \]

Проверим значение функции на концах отрезка и в критической точке (так как 1 находится в отрезке [0; 21]).

\( x = 0 \): \( y = 11 + 6 \cdot 0 - 4 \cdot 0\sqrt{0} = 11 \).

\( x = 1 \): \( y = 11 + 6 \cdot 1 - 4 \cdot 1\sqrt{1} = 11 + 6 - 4 = 13 \).

\( x = 21 \): \( y = 11 + 6 \cdot 21 - 4 \cdot 21\sqrt{21} = 11 + 126 - 84\sqrt{21} = 137 - 84\sqrt{21} \approx 137 - 84 \cdot 4.58 = 137 - 384.72 = -247.72 \).

Сравнивая значения, наибольшее значение функции равно 13.

Ответ: 13