Задание 6. Найдите наибольшее значение функции ... 2) y=6+12x-4х√х на отрезке [2; 11];

Решение:

Найдем производную функции \( y = 6 + 12x - 4x\sqrt{x} \).

\( y' = 12 - 4 \left( 1 \cdot \sqrt{x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \right) = 12 - 4 \left( \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2} \right) = 12 - 4 \cdot \frac{3}{2}\sqrt{x} = 12 - 6\sqrt{x} \).

Приравняем производную к нулю:

\[ 12 - 6\sqrt{x} = 0 \]

\[ 6\sqrt{x} = 12 \]

\[ \sqrt{x} = 2 \]

\[ x = 4 \]

Проверим значение функции на концах отрезка и в критической точке (так как 4 находится в отрезке [2; 11]).

\( x = 2 \): \( y = 6 + 12 \cdot 2 - 4 \cdot 2\sqrt{2} = 6 + 24 - 8\sqrt{2} = 30 - 8\sqrt{2} \approx 30 - 8 \cdot 1.41 = 30 - 11.28 = 18.72 \).

\( x = 4 \): \( y = 6 + 12 \cdot 4 - 4 \cdot 4\sqrt{4} = 6 + 48 - 16 \cdot 2 = 6 + 48 - 32 = 22 \).

\( x = 11 \): \( y = 6 + 12 \cdot 11 - 4 \cdot 11\sqrt{11} = 6 + 132 - 44\sqrt{11} = 138 - 44\sqrt{11} \approx 138 - 44 \cdot 3.31 = 138 - 145.64 = -7.64 \).

Сравнивая значения, наибольшее значение функции равно 22.

Ответ: 22