Задание №6. Медианы AA₁, BB₁, CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB. а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите сумму квадратов медиан AA₁ и CC₁, если известно, что AC = 12.

а) Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому \(BB_1=3MB\). По условию \(AC=3MB\), значит, \(BB_1=AC\).

Поскольку \(B_1\) — середина AC, имеем \(AB_1=AC/2\). В треугольнике ABB₁ равенство \(BB_1=AC=2AB_1\) показывает, что медиана к стороне AC равна половине этой стороны. По обратной теореме о медиане, проведённой к гипотенузе, треугольник ABC прямоугольный, причём прямой угол — B.

б) Для медианы к стороне длины \(a\), когда остальные стороны имеют длины \(b\) и \(c\), выполняется формула \(m_a^2=(2b^2+2c^2-a^2)/4\). Здесь \(AC=12\) — гипотенуза, поэтому по теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна \(12^2=144\).

Складывая формулы для медиан из A и C, получаем \(AA_1^2+CC_1^2=(4\cdot AC^2+AB^2+BC^2)/4\). Следовательно, \(AA_1^2+CC_1^2=(4\cdot144+144)/4=180\).

Ответ: а) треугольник ABC прямоугольный при B; б) 180.