Задание №4. Дан прямоугольный треугольник CAT с острыми углами A и T. Точка H — такая точка на стороне AT, что cos ∠ACH = cos ∠ATC = 0,2. Найдите HT, если известно, что AT = 2,5.

Так как треугольник CAT прямоугольный, его прямой угол — C.

Из условия \(\cos \angle ATC=CT/AT=0.2\), поэтому \(CT=2.5\cdot0.2=0.5\). По теореме Пифагора \(AC=\sqrt{AT^2-CT^2}=\sqrt{6}\).

Обозначим \(\angle CAT=\alpha\), \(\angle ACH=\beta\). Тогда \(\sin\alpha=CT/AT=0.2\), а \(\cos\beta=0.2\), следовательно, \(\alpha+\beta=90^\circ\). В треугольнике ACH угол при H равен \(90^\circ\), поскольку A, H и T лежат на одной прямой. Тогда \(AH=AC\cos\alpha=\sqrt6\cdot\sqrt{0.96}=2.4\).

Следовательно, \(HT=AT-AH=2.5-2.4=0.1\).

Ответ: 0,1.