Задание 5. На плоскости даны k точек. Известно, что не все они лежат на одной прямой. Через каждую пару точек проведена прямая. Какое наименьшее и наибольшее количество прямых может быть нарисовано при этом? 1) k=3; 2) k=4; 3) k=5; 4) k=10; 5) k=13; 6) k=80.

Наибольшее количество получается, когда никакие три точки не лежат на одной прямой: \(N_{\max}=C_k^2=\frac{k(k-1)}2\).

Наименьшее количество при условии, что точки не лежат все на одной прямой, получается, если \(k-1\) точек лежат на одной прямой, а одна точка находится вне неё. Тогда \(N_{\min}=1+(k-1)=k\).

Ответ: 1) 3 и 3; 2) 4 и 6; 3) 5 и 10; 4) 10 и 45; 5) 13 и 78; 6) 80 и 3160.