Задание 5. Доказать равенство аналитическим способом. I вариант (A U B) U C = A U (B U C)

Решение:

Доказательство равенства \( (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \)

Для доказательства равенства двух множеств необходимо показать, что каждый элемент одного множества принадлежит другому, и наоборот.

1. Докажем, что \( (A \cup B) \cup C \subseteq A \cup (B \cup C) \)

Пусть \( x \) — произвольный элемент множества \( (A \cup B) \cup C \).

По определению объединения множеств, \( x \in (A \cup B) \cup C \) означает, что \( x \in (A \cup B) \) или \( x \in C \).

Если \( x \in C \), то по определению объединения \( x \in A \cup (B \cup C) \).

Если \( x \in (A \cup B) \), то по определению объединения \( x \in A \) или \( x \in B \).

* Если \( x \in A \), то по определению объединения \( x \in A \cup (B \cup C) \).

* Если \( x \in B \), то по определению объединения \( x \in B \cup C \). А если \( x \in B \cup C \), то по определению объединения \( x \in A \cup (B \cup C) \).

Таким образом, в любом случае \( x \in A \cup (B \cup C) \). Следовательно, \( (A \cup B) \cup C \subseteq A \cup (B \cup C) \).

2. Докажем, что \( A \cup (B \cup C) \subseteq (A \cup B) \cup C \)

Пусть \( y \) — произвольный элемент множества \( A \cup (B \cup C) \).

По определению объединения множеств, \( y \in A \cup (B \cup C) \) означает, что \( y \in A \) или \( y \in (B \cup C) \).

Если \( y \in A \), то по определению объединения \( y \in A \cup B \). А если \( y \in A \cup B \), то по определению объединения \( y \in (A \cup B) \cup C \).

Если \( y \in (B \cup C) \), то по определению объединения \( y \in B \) или \( y \in C \).

* Если \( y \in B \), то по определению объединения \( y \in A \cup B \). А если \( y \in A \cup B \), то по определению объединения \( y \in (A \cup B) \cup C \).

* Если \( y \in C \), то по определению объединения \( y \in (A \cup B) \cup C \).

Таким образом, в любом случае \( y \in (A \cup B) \cup C \). Следовательно, \( A \cup (B \cup C) \subseteq (A \cup B) \cup C \).

Вывод:

Поскольку \( (A \cup B) \cup C \subseteq A \cup (B \cup C) \) и \( A \cup (B \cup C) \subseteq (A \cup B) \cup C \), то равенство \( (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \) доказано.

Ответ: Равенство доказано.