Задание 4. Используя формулу включения и исключения решить задачи. I вариант 1. Все девочки в классе увлекаются вязанием или шитьём. Сколько девочек в классе, если вязанием занимаются 15 человек, шитьём — 20, а вязанием и шитьём — 10? 2. Из 100 студентов университета английский язык знают 28 студентов, немецкий — 30, французский — 42, английский и немецкий — 8, английский и французский — 10, немецкий и французский — 5, все три языка знают 3 студента. Сколько студентов знают не одного из трёх языков?

Решение:

Вариант I

Задача 1: Вязание и шитьё

Используем формулу включения-исключения для двух множеств: \( |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \).

Пусть:

• \( A \) — множество девочек, увлекающихся вязанием. \( |A| = 15 \)
• \( B \) — множество девочек, увлекающихся шитьём. \( |B| = 20 \)
• \( A \cap B \) — множество девочек, увлекающихся и вязанием, и шитьём. \( |A \cap B| = 10 \)

Найдём общее число девочек, увлекающихся вязанием или шитьём \( |A \cup B| \):

\[ |A \cup B| = 15 + 20 - 10 = 35 - 10 = 25 \]

Ответ: 25 девочек.

Задача 2: Иностранные языки

Используем формулу включения-исключения для трёх множеств: \( |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \).

Пусть:

• \( A \) — студенты, знающие английский язык. \( |A| = 28 \)
• \( B \) — студенты, знающие немецкий язык. \( |B| = 30 \)
• \( C \) — студенты, знающие французский язык. \( |C| = 42 \)
• \( |A \cap B| = 8 \)
• \( |A \cap C| = 10 \)
• \( |B \cap C| = 5 \)
• \( |A \cap B \cap C| = 3 \)
• Всего студентов: \( |U| = 100 \)

Найдём число студентов, знающих хотя бы один из трёх языков \( |A \cup B \cup C| \):

\[ |A \cup B \cup C| = 28 + 30 + 42 - 8 - 10 - 5 + 3 \]

\[ |A \cup B \cup C| = 100 - 23 + 3 = 77 + 3 = 80 \]

Теперь найдём число студентов, которые не знают ни одного из трёх языков. Для этого вычтем из общего числа студентов тех, кто знает хотя бы один язык:

\[ |U| - |A \cup B \cup C| = 100 - 80 = 20 \]

Ответ: 20 студентов.