Задание 5: AB – общая касательная к двум касающимся окружностям радиусами 2 см и 8 см, A и B – точки касания (рис. 4). Найдите длину отрезка AB.

Решение:

1. Пусть \( r_1 = 2 \text{ см} \) и \( r_2 = 8 \text{ см} \) — радиусы первой и второй окружностей соответственно.
2. Пусть \( O_1 \) и \( O_2 \) — центры окружностей.
3. Так как окружности касаются, расстояние между их центрами равно сумме радиусов: \( O_1O_2 = r_1 + r_2 = 2 \text{ см} + 8 \text{ см} = 10 \text{ см} \).
4. AB — общая касательная. Проведем радиусы \( O_1A \) и \( O_2B \) к точкам касания.
5. \( O_1A \bot AB \) и \( O_2B \bot AB \), так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
6. \( O_1A = 2 \text{ см} \) и \( O_2B = 8 \text{ см} \).
7. Проведем через центр \( O_1 \) прямую, параллельную AB, до пересечения с радиусом \( O_2B \). Обозначим точку пересечения как C.
8. Получился прямоугольник \( O_1ABC \). Следовательно, \( AC = O_1B \) и \( AB = O_1C \).
9. \( O_2C = O_2B - CB = O_2B - O_1A = 8 \text{ см} - 2 \text{ см} = 6 \text{ см} \).
10. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle O_1CO_2 \). По теореме Пифагора: \( O_1O_2^2 = O_1C^2 + O_2C^2 \).
11. \( 10^2 = AB^2 + 6^2 \).
12. \( 100 = AB^2 + 36 \).
13. \( AB^2 = 100 - 36 = 64 \).
14. \( AB = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \).

Ответ: \( AB = 8 \text{ см} \).