Задание 2: Лучи AB и AC касаются окружности с центром O в точках B и C, ∠OBC = 40° (рис. 2). Найдите ∠BAC.

Решение:

1. Поскольку OB и OC — радиусы окружности, проведенные в точки касания, то \( \triangle OBC \) — равнобедренный. Следовательно, \( \angle OCB = \angle OBC = 40° \).
2. Сумма углов в \( \triangle OBC \) равна 180°. Значит, \( \angle BOC = 180° - (\angle OBC + \angle OCB) = 180° - (40° + 40°) = 180° - 80° = 100° \).
3. Касательная AB перпендикулярна радиусу OB в точке касания, поэтому \( \angle ABO = 90° \).
4. Аналогично, касательная AC перпендикулярна радиусу OC в точке касания, поэтому \( \angle ACO = 90° \).
5. Рассмотрим четырехугольник ABOC. Сумма углов в нем равна 360°. \( \angle BAC + \angle ABO + \angle BOC + \angle ACO = 360° \).
6. \( \angle BAC + 90° + 100° + 90° = 360° \)
7. \( \angle BAC + 280° = 360° \)
8. \( \angle BAC = 360° - 280° = 80° \)

Ответ: \( \angle BAC = 80° \).