Задание 3. В прямоугольном треугольника длина одного из катетов равна а, а величина угла, прилежащего к этому катету, равна в. a) Необходимо выразить второй катет, второй острый угол и гипотенузу через в и а. б) Найти их значения, если в = 40°, а = 15 см.

Задание 3

В прямоугольном треугольнике один катет равен \( a \), а прилежащий к нему острый угол равен \( \beta \).

а) Выразим второй катет, второй острый угол и гипотенузу через \( \beta \) и \( a \):

Пусть данный катет - это катет, прилежащий к углу \( \beta \). Обозначим его как \( a \).

Второй катет (противолежащий углу \( \beta \)):

\( \mathrm{tg} \beta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \).

\( \text{противолежащий катет} = a \cdot \mathrm{tg} \beta \).

Второй острый угол:

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. Второй острый угол равен \( 90^\circ - \beta \).

Гипотенуза:

\( \cos \beta = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \).

\( \text{гипотенуза} = \frac{a}{\cos \beta} \).

б) Найдем их значения, если \( \beta = 40^\circ \), \( a = 15 \) см:

Второй катет:

\( 15 \\text{ см} \cdot \mathrm{tg} 40^\circ \approx 15 \\text{ см} \cdot 0.839 = 12.585 \\text{ см} \).

Второй острый угол:

\( 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \).

Гипотенуза:

\( \frac{15 \\text{ см}}{\cos 40^\circ} \approx \frac{15 \\text{ см}}{0.766} \approx 19.6 \\text{ см} \).

Ответ: а) Второй катет = \( a \cdot \mathrm{tg} \beta \), второй острый угол = \( 90^\circ - \beta \), гипотенуза = \( \frac{a}{\cos \beta} \); б) Второй катет ≈ 12.59 см, второй острый угол = 50°, гипотенуза ≈ 19.60 см.