Задание 3*. Составьте полное квадратное уравнение с целыми коэффициентами, у которого старший коэффициент равен 9, свободный член равен 25, и при этом само уравнение имеет единственный положительный корень. Проверьте верность составленного уравнения, вычислив дискриминант.

Решение:

Полное квадратное уравнение имеет вид \( ax^2 + bx + c = 0 \). По условию:

• Старший коэффициент \( a = 9 \).
• Свободный член \( c = 25 \).
• Уравнение имеет единственный положительный корень.

Уравнение принимает вид \( 9x^2 + bx + 25 = 0 \).

Для единственного корня дискриминант \( D \) должен быть равен нулю: \( D = b^2 - 4ac = 0 \).

Подставим известные значения \( a \) и \( c \):

\( b^2 - 4 \cdot 9 \cdot 25 = 0 \)

\( b^2 - 900 = 0 \)

\( b^2 = 900 \)

\( b = \pm \sqrt{900} = \pm 30 \).

Теперь проверим, какой из коэффициентов \( b \) (30 или -30) даст единственный положительный корень.

Случай 1: \( b = 30 \)

Уравнение: \( 9x^2 + 30x + 25 = 0 \).

Единственный корень находится по формуле \( x = \frac{-b}{2a} \).

\( x = \frac{-30}{2 \cdot 9} = \frac{-30}{18} = -\frac{5}{3} \).

Этот корень отрицательный, что не соответствует условию.

Случай 2: \( b = -30 \)

Уравнение: \( 9x^2 - 30x + 25 = 0 \).

Единственный корень:

\( x = \frac{-(-30)}{2 \cdot 9} = \frac{30}{18} = \frac{5}{3} \).

Этот корень положительный, что соответствует условию.

Проверка дискриминанта: \( D = (-30)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 25 = 900 - 900 = 0 \). Дискриминант равен нулю, что подтверждает наличие единственного корня.

Ответ: \( 9x^2 - 30x + 25 = 0 \)