Задание 3. Решите уравнения: 1) $3\cdot9^x=81$; 2) $3^{x+\frac12}\cdot3^{x-2}=1$; 3) $0{,}6^x\cdot0{,}6^3=\frac{0{,}6^{2x}}{0{,}6^5}$; 4) $2\cdot4^x=64$; 5) $0{,}5^{x+7}\cdot0{,}5^{1-2x}=2$; 6) $6^{3x}\cdot\frac16=6\cdot\left(\frac16\right)^{2x}$; 7) $225\cdot15^{2x+1}=1$; 8) $\left(\frac14\cdot4^x\right)^x=2^{2x+6}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 3. Решите уравнения: 1) $3\cdot9^x=81$; 2) $3^{x+\frac12}\cdot3^{x-2}=1$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

Из $3\cdot9^x=81$ получаем $9^x=27$, то есть $3^{2x}=3^3$. Поэтому $x=\frac32$.
Складываем показатели одинаковых оснований: $3^{2x-\frac32}=1=3^0$. Тогда $2x-\frac32=0$, откуда $x=\frac34$.
Показатели степеней с основанием $0{,}6$ дают $x+3=2x-5$. Следовательно, $x=8$.
$4^x=32$, то есть $2^{2x}=2^5$. Значит, $x=\frac52$.
Слева получаем $0{,}5^{8-x}$, а $2=0{,}5^{-1}$. Поэтому $8-x=-1$, откуда $x=9$.
Представим обе части как степени числа 6: $6^{3x-1}=6^{1-2x}$. Тогда $3x-1=1-2x$, поэтому $x=\frac25$.
Так как $225=15^2$ и $1=15^0$, получаем $15^{2x+3}=15^0$. Значит, $x=-\frac32$.
В скобках $\frac14\cdot4^x=2^{2x-2}$, поэтому левая часть равна $2^{2x^2-2x}$. Приравниваем показатели: $2x^2-2x=2x+6$, или $x^2-2x-3=0$. Разложение даёт $(x-3)(x+1)=0$, поэтому $x=3$ или $x=-1$.

Ответ: 1) $\frac32$; 2) $\frac34$; 3) $8$; 4) $\frac52$; 5) $9$; 6) $\frac25$; 7) $-\frac32$; 8) $-1, 3$.