Задание 3. По данным рисунка постройте:

Задание 3: Построение точек и линий пересечения

а) точки пересечения MN с плоскостью AA₁B₁;

Прямая MN лежит в плоскости основания ABCD. Плоскость AA₁B₁ содержит прямую AB, параллельную CD и MN. Плоскость основания ABCD и плоскость AA₁B₁ пересекаются по прямой AB.

Если прямая MN не параллельна прямой AB, то точка пересечения будет лежать на прямой AB.

б) точки пересечения прямой A₁N с плоскостью CDD₁;

Плоскость CDD₁ содержит прямую CD. Точка N лежит на ребре BC. Прямая A₁N проходит через точку A₁ (вершина верхнего основания) и точку N (на ребре BC). Проведем через A₁N плоскость. Точка N принадлежит плоскости CDD₁ (так как лежит на прямой BC, которая является ребром этой плоскости). Точка A₁ не лежит в плоскости CDD₁. Линия пересечения прямой A₁N с плоскостью CDD₁ будет точкой.

в) точки пересечения MN с плоскостью CC₁D₁;

Прямая MN лежит в плоскости основания ABCD. Плоскость CC₁D₁ содержит ребро CD. Линия пересечения плоскости ABCD и плоскости CC₁D₁ есть прямая CD.

Если прямая MN пересекает прямую CD, то точка пересечения является искомой точкой. Если MN параллельна CD, то пересечения нет.

г) точки пересечения прямой C₁M с плоскостью ABB₁;

Плоскость ABB₁ содержит ребра AB и AA₁, BB₁.

Точка M лежит на ребре AB. Точка C₁ - вершина верхнего основания.

Прямая C₁M проходит через вершину C₁ и точку M на ребре AB. Точка M принадлежит плоскости ABB₁. Точка C₁ не лежит в плоскости ABB₁ (если это не прямой угол).

Таким образом, прямая C₁M пересекает плоскость ABB₁ в точке M.

д) линию пересечения плоскости C₁MN с плоскостью BB₁C₁;

Плоскость C₁MN содержит точку C₁ (вершина верхнего основания), точку M (на ребре AB), точку N (на ребре BC). Плоскость BB₁C₁ содержит ребра BB₁ и C₁B₁.

Общая точка плоскостей - точка C₁.

Плоскость C₁MN пересекает ребро BB₁ в некоторой точке P. Линия пересечения будет C₁P.

е) линию пересечения плоскости A₁MN с плоскостью DAA₁;

Плоскость A₁MN содержит точку A₁ (вершина верхнего основания), точку M (на ребре AB), точку N (на ребре BC).

Плоскость DAA₁ содержит ребра DA и AA₁.

Общая точка этих плоскостей - точка A₁.

Плоскость A₁MN пересекает ребро DA в некоторой точке Q. Линия пересечения будет A₁Q.

Ответ: Построения выполнены согласно описанию.