Задание 2. Упростить выражение. a) (\(\frac{2}{2x+y} - \frac{1}{2x-y} - \frac{3y}{y^2-4x^2}\)) \(\cdot\) \(\frac{y^2}{8x^2} - \frac{1}{2}\)

Решение:

Сначала упростим выражение в первой скобке:

\(\frac{2}{2x+y} - \frac{1}{2x-y} - \frac{3y}{y^2-4x^2} = \frac{2(2x-y) - 1(2x+y)}{(2x+y)(2x-y)} - \frac{3y}{(y-2x)(y+2x)}\)

Заметим, что \( y^2-4x^2 = (y-2x)(y+2x) = -(2x-y)(2x+y) \).

\(= \frac{4x-2y-2x-y}{(2x+y)(2x-y)} - \frac{3y}{-(2x-y)(2x+y)} = \frac{2x-3y}{(2x+y)(2x-y)} + \frac{3y}{(2x-y)(2x+y)}\)

\(= \frac{2x-3y+3y}{(2x+y)(2x-y)} = \frac{2x}{4x^2-y^2}\)

Теперь упростим выражение во второй скобке:

\(\frac{y^2}{8x^2} - \frac{1}{2} = \frac{y^2 - 4x^2}{8x^2}\)

Теперь перемножим упрощённые выражения:

\(\frac{2x}{4x^2-y^2} \cdot \frac{y^2-4x^2}{8x^2} = \frac{2x}{-(y^2-4x^2)} \cdot \frac{y^2-4x^2}{8x^2}\)

\(= \frac{2x}{1} \cdot \frac{-1}{8x^2} = \frac{-2x}{8x^2} = \frac{-1}{4x}\)

Ответ: \(-\frac{1}{4x}\).