Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
1. Определение области допустимых значений (ОДЗ):
Знаменатели не должны быть равны нулю. \( y+2 \neq 0 \Rightarrow y \neq -2 \).
\( y-2 \neq 0 \Rightarrow y \neq 2 \).
\( y^2-4 = (y-2)(y+2) \neq 0 \Rightarrow y \neq \pm 2 \).
Итак, ОДЗ: \( y \neq \pm 2 \).
2. Приведение к общему знаменателю:
Общий знаменатель — \( y^2 - 4 = (y-2)(y+2) \).
\[ \frac{y(y-2)}{(y+2)(y-2)} + \frac{(y+2)(y+2)}{(y-2)(y+2)} = \frac{8}{y^2-4} \]
\[ \frac{y^2-2y + y^2+4y+4}{y^2-4} = \frac{8}{y^2-4} \]
3. Решение уравнения:
Так как знаменатели равны, приравниваем числители:
\[ y^2 - 2y + y^2 + 4y + 4 = 8 \]
\[ 2y^2 + 2y + 4 = 8 \]
\[ 2y^2 + 2y - 4 = 0 \]
Разделим всё на 2:
\[ y^2 + y - 2 = 0 \]
Найдём корни квадратного уравнения через дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]
\[ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
\[ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
4. Проверка ОДЗ:
Корень \( y_2 = -2 \) не входит в ОДЗ, поэтому он посторонний.
Ответ: y = 1.
