Задание 2. Найдите первообразную функции: a) f(x) = x13 – 2x11 + 5x8 + x2 - 4x + 58; б) Для функции у = f(x) найдите первообразную, график которой проходит через точку: f(x) = -5sinx + 9, M(0; 8).

Задание 2. Находим первообразные:

1. а) Для нахождения первообразной $$F(x)$$ функции $$f(x) = x^{13} – 2x^{11} + 5x^8 + x^2 – 4x + 58$$ используем правило интегрирования степенной функции $$ \frac{d}{dx}(x^n) = \frac{x^{n+1}}{n+1} $$ и константы $$ \frac{d}{dx}(c) = cx $$.
   $$F(x) = \frac{x^{14}}{14} - 2\frac{x^{12}}{12} + 5\frac{x^9}{9} + \frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} + 58x + C$$
   $$F(x) = \frac{x^{14}}{14} - \frac{x^{12}}{6} + \frac{5x^9}{9} + \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 58x + C$$
2. б) Для нахождения первообразной функции $$f(x) = -5\thinspace\text{sin}x + 9$$, график которой проходит через точку $$M(0; 8)$$.
   Сначала найдем общую форму первообразной:
   $$F(x) = \boldsymbol{\rightarrow} (-5\thinspace\text{sin}x + 9) dx$$
   $$F(x) = -5(-\thinspace\text{cos}x) + 9x + C$$
   $$F(x) = 5\thinspace\text{cos}x + 9x + C$$
   Теперь используем точку $$M(0; 8)$$, чтобы найти константу $$C$$. Подставляем $$x = 0$$ и $$F(x) = 8$$:
   $$8 = 5\thinspace\text{cos}(0) + 9(0) + C$$
   $$8 = 5(1) + 0 + C$$
   $$8 = 5 + C$$
   $$C = 3$$
   Таким образом, искомая первообразная:
   $$F(x) = 5\thinspace\text{cos}x + 9x + 3$$