Задание 2 (без возвращения → условная вероятность) В коробке лежат 2 жёлтых и 4 зелёных карандаша. Ученик наугад берёт один карандаш, не возвращает его, а затем берёт второй. 5. Постройте дерево вероятностей. Обозначьте: Ж — жёлтый, З — зелёный. 6. Найдите вероятность того, что оба карандаша окажутся зелёными. 7. Найдите условную вероятность: Р(второй карандаш жёлтый | первый зелёный) (То есть: какова вероятность, что второй жёлтый, если первый был зелёным?) 8. Найдите вероятность того, что карандаши будут разного цвета.

Решение:

Всего карандашей: \( 2 + 4 = 6 \).

1. Дерево вероятностей:
   На первом шаге:
• Вероятность вытащить жёлтый карандаш (Ж₁): \( P(Ж_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
• Вероятность вытащить зелёный карандаш (З₁): \( P(З_1) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)

На втором шаге (без возвращения, карандашей остаётся 5):

• Если первый был жёлтый (Ж₁), то осталось 1 жёлтый и 4 зелёных:
• Вероятность вытащить жёлтый (Ж₂): \( P(Ж_2 | Ж_1) = \frac{1}{5} \)
• Вероятность вытащить зелёный (З₂): \( P(З_2 | Ж_1) = \frac{4}{5} \)
• Если первый был зелёный (З₁), то осталось 2 жёлтых и 3 зелёных:
• Вероятность вытащить жёлтый (Ж₂): \( P(Ж_2 | З_1) = \frac{2}{5} \)
• Вероятность вытащить зелёный (З₂): \( P(З_2 | З_1) = \frac{3}{5} \)

Структура дерева:

• Корень
• Ветви первого уровня: Ж₁ (\( \frac{1}{3} \)), З₁ (\( \frac{2}{3} \))
• От Ж₁: Ж₂ (\( \frac{1}{5} \)), З₂ (\( \frac{4}{5} \))
• От З₁: Ж₂ (\( \frac{2}{5} \)), З₂ (\( \frac{3}{5} \))
• Полные пути: Ж₁-Ж₂, Ж₁-З₂, З₁-Ж₂, З₁-З₂.
2. Вероятность того, что оба карандаша зелёные (З₁-З₂):
   \( P(З_1 \text{ и } З_2) = P(З_1) \times P(З_2 | З_1) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \)
3. Условная вероятность Р(второй карандаш жёлтый | первый зелёный):
   Это вероятность \( P(Ж_2 | З_1) \), которую мы уже определили при построении дерева.
   \( P(Ж_2 | З_1) = \frac{2}{5} \)
4. Вероятность того, что карандаши будут разного цвета:
   Это событие Ж₁-З₂ ИЛИ З₁-Ж₂.
   Вероятность Ж₁-З₂: \( P(Ж_1 \text{ и } З_2) = P(Ж_1) \times P(З_2 | Ж_1) = \frac{1}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{15} \)
   Вероятность З₁-Ж₂: \( P(З_1 \text{ и } Ж_2) = P(З_1) \times P(Ж_2 | З_1) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{15} \>
   Общая вероятность: \( P(\text{разного цвета}) = P(Ж_1 \text{ и } З_2) + P(З_1 \text{ и } Ж_2) = \frac{4}{15} + \frac{4}{15} = \frac{8}{15} \)

Ответ: 6. \( \frac{2}{5} \); 7. \( \frac{2}{5} \); 8. \( \frac{8}{15} \).