Задание 17.7. В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC угол D равен 61°. Диагональ АС образует со стороной АВ угол 23°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и основанием AD?

Решение:

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Следовательно, \( \angle DAB = \angle ADC = 61^{\circ} \).

Угол между диагональю АС и боковой стороной АВ равен \( \angle CAB = 23^{\circ} \).

Так как трапеция равнобедренная, то диагонали равны: \( AC = BD \). Также равны углы, образованные диагоналями и боковыми сторонами: \( \angle BAC = \angle CDB = 23^{\circ} \) и \( \angle CAD = \angle ACB \).

Угол между диагональю АС и основанием AD равен \( \angle CAD \).

Рассмотрим \( \triangle ABD \). Сумма углов в \( \triangle ABD \) равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle ABD + \angle BDA + \angle DAB = 180^{\circ} \)

\( \angle ABD + 61^{\circ} + 61^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle ABD = 180^{\circ} - 122^{\circ} = 58^{\circ} \).

Угол между диагональю АС и основанием AD равен \( \angle CAD \).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны, поэтому \( \angle DAB = 61^{\circ} \). Мы знаем, что \( \angle CAB = 23^{\circ} \).

\( \angle CAD = \angle DAB - \angle CAB = 61^{\circ} - 23^{\circ} = 38^{\circ} \).

Ответ: 38°.