Задание 16.2) Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен √3/2. Диаметр описанной около него окружности равен 26. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

Диаметр описанной окружности около прямоугольника равен диагонали прямоугольника. Следовательно, диагональ \( d = 26 \).

Пусть \( a \) и \( b \) — стороны прямоугольника, а \( \alpha \) — угол между стороной \( a \) и диагональю \( d \). По условию, \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами \( a \), \( b \) и диагональю \( d \), синус угла \( \alpha \) определяется как отношение противолежащего катета \( b \) к гипотенузе \( d \):

\[ \sin \alpha = \frac{b}{d} \]

Подставляем известные значения:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{b}{26} \]

\[ b = 26 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 13\sqrt{3} \]

Теперь найдем сторону \( a \) с помощью теоремы Пифагора: \( a^2 + b^2 = d^2 \).

\[ a^2 + (13\sqrt{3})^2 = 26^2 \]

\[ a^2 + 169 \cdot 3 = 676 \]

\[ a^2 + 507 = 676 \]

\[ a^2 = 676 - 507 = 169 \]

\[ a = \sqrt{169} = 13 \]

Площадь прямоугольника \( S \) равна произведению его сторон:

\[ S = a \cdot b = 13 \cdot 13\sqrt{3} = 169\sqrt{3} \]

Ответ: 169√3.