Задание 15.1) В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Найдите градусную меру угла В, если угол С = 12° и АК = СК.

Решение:

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Если \( AK = CK \), то \( AK \) — медиана. Так как \( AK \) — биссектриса и медиана, то треугольник \( ABC \) — равнобедренный с основанием \( BC \), и \( AB = AC \). В этом случае \( AK \) является и высотой, значит \( \angle AKC = 90^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( AKC \). Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \). Следовательно, \( \angle CAK + \angle ACK + \angle AKC = 180^{\circ} \).

Нам дано \( \angle C = \angle ACK = 12^{\circ} \) и \( \angle AKC = 90^{\circ} \). Найдем \( \angle CAK \):

\[ \angle CAK = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 12^{\circ} = 78^{\circ} \]

Так как \( AK \) — биссектриса угла \( A \), то \( \angle BAC = 2 \cdot \angle CAK \).

\[ \angle BAC = 2 \cdot 78^{\circ} = 156^{\circ} \]

Теперь найдем угол \( B \) в треугольнике \( ABC \). Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \):

\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \]

\[ 156^{\circ} + \angle B + 12^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ 168^{\circ} + \angle B = 180^{\circ} \]

\[ \angle B = 180^{\circ} - 168^{\circ} = 12^{\circ} \]

Ответ: 12°.