Задание 15. На рисунке 24 изображена ломаная с вершинами в узлах сетки. Отметьте такую точку на ломаной, которая разбивает её на две части одинаковой длины.

Считаем длины звеньев по клеткам. Ломаная состоит из трёх диагоналей длиной по \(2\sqrt{2}\) клетки, а также звеньев длиной 1, 2, 4 и 3 клетки. Её длина равна \(6\sqrt{2}+10\) клеток, половина — \(3\sqrt{2}+5\).

От начального конца до вершины (5, 4) длина равна \(4\sqrt{2}+1\) клетки. Поэтому искомая точка находится на следующей диагонали — от (5, 4) до (7, 6) — на расстоянии \(1+\sqrt{2}\) клетки от её начала. Это соответствует доле \((1+\sqrt{2})/(2\sqrt{2})\) длины диагонального звена.

На рисунке точка отмечена на диагональном звене между (5, 4) и (7, 6); расстояние от начала звена указано в клетках.